Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)在處取得極小值，設(shè)此時(shí)函數(shù)的極大值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；（3）見解答過程。

【解析】試題分析：（1）先依據(jù)題設(shè)條件對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率，運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；（2）先對(duì)函數(shù)然后再運(yùn)用分類整合思想探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）借助（2）的結(jié)論，確定函數(shù)在處取得極小值時(shí)在處取得極大值，然后得到，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可知其在在上遞減，從而得到，即。

解：(1)當(dāng)時(shí)，，故.

又，則.

故所求切線方程為.

(2)∵

，

∴當(dāng)時(shí)，，故在上遞減.

當(dāng)時(shí)，，；，，

故的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，，；，，

故的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞減；

當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

(3)依據(jù)(2)可知函數(shù)在處取得極小值時(shí)，，

故函數(shù)在處取得極大值，即，

故當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，

所以，即.