Question

已知橢圓方程是

x2

10

+

y2

5

=1，雙曲線E的漸近線方程是3x+4y=0，在下列條件下求雙曲線的標準方程：
（1）雙曲線E以橢圓的焦點為其頂點；
（2）雙曲線E以橢圓的頂點為其焦點．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先求出雙曲線E的頂點坐標，從而求出a的值，再根據

b

a

=

3

4

求出b的值，從而求出雙曲線的標準方程；
（2）先求出雙曲線的焦點坐標，從而求出c的值，結合

b

a

=

3

4

，c²=a²+b²，得到方程組，解出即可．

解答： 解：由題意得：橢圓的焦點坐標是：（-

5

，0），（

5

，0），頂點坐標是：（-

10

，0），（

10

，0），
（1）雙曲線E的頂點是：（-

5

，0），（

5

，0），
∴a=

5

，∴

b

5

=

3

4

，∴b=

3 5

4

，b²=

45

16

，
∴雙曲線E的標準方程是：

x2

5

-

y2

45 16

=1；
（2）雙曲線E的焦點是：（-

10

，0），（

10

，0），
∴c=

10

，又∵

b

a

=

3

4

，
∴

c= 10 b a = 3 4 c2=a2+b2

，解得：

a2= 160 25 b2= 18 5

，
∴雙曲線E的標準方程是：

x2

160 25

-

y2

18 5

=1．

點評：本題考查了橢圓的性質，考查了雙曲線的性質，是一道基礎題．