Question

若函數y=f（x）的導函數在區間（a，b）上的圖象關于直線x=

a+b

2

對稱，則函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象可能是（　　）

• A、①
• B、②
• C、③
• D、③④

Answer 1

分析：對于①②，直接由圖象得出在a處與b處切線斜率不相等，即可排除答案；
對于③，原函數為一次函數，其導函數為常數函數即可知道其滿足要求；
對于④，先由圖象找到對稱中心即可判斷其成立．

解答：解：因為函數y=f（x）的導函數在區間（a，b）上的圖象關于直線x=

a+b

2

對稱，即導函數要么圖象無增減性，要么是在直線x=

a+b

2

兩側單調性相反；
對于①，由圖得，在a處切線斜率最小，在b處切線斜率最大，故導函數圖象不關于直線 x=

a+b

2

對稱，故①不成立；
對于②，由圖得，在a處切線斜率最大，在b處切線斜率最小，故導函數圖象不關于直線x=

a+b

2

對稱，故②不成立；
對于③，由圖得，原函數為一次函數，其導函數為常數函數，故導函數圖象關于直線 x=

a+b

2

對稱，故③成立；
對于④，由圖得，原函數有一對稱中心，在直線x=

a+b

2

與原函數圖象的交點處，故導函數圖象關于直線 x=

a+b

2

對稱，故④成立；
所以，滿足要求的有③④．
故選  D．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數之間的關系．做這一類型題目，要注意運用課本定義，是對課本知識的考查，屬于基礎題，但也是易錯題．