Question

已知函數f（x），當x、y∈R時，恒有f（x）-f（y）=f（x-y）．
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數；
（Ⅱ）如果x＜0時，f（x）＞0，并且f（2）=-1，試求f（x）在區間[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5對任意a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵當x、y∈R時，恒有f （x）-f （y）=f （x-y），
∴f （0）-f （0）=f （0-0），即f （0）=0，
∴f （0）-f （x）=f （0-x），
即-f （x）=f （-x），
所以f （x）是奇函數；
（Ⅱ）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁＞f（x₂），
故，函數f（x）在R上單調遞減，
所以，函數f（x）在[-2，6]上單調遞減，
故，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=1，
f（x）_min=f（6）=f（4）+f（2）=3f（2）=-3；
（Ⅲ）∵對任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5恒成立，
∴m²+am-5＜f（x）_min=-3，即m²+am-2＜0，
∵對任意a∈[-1，1]，不等式m²+am-2＜0恒成立，
∴，解得-1＜m＜1，
所以，實數m的取值范圍是：-1＜m＜1．
分析：（Ⅰ）定義法：令x=y=0，可求出f（0），再令x=0，y=x，即可證明；
（Ⅱ）先利用定義判斷f（x）的單調性，再利用單調性及f（2）=-1即可求出f（x）在區間[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）對任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m²+am-5恒成立，等價于m²+am-5＜f（x）_min，又對任意a∈[-1，1]恒成立，可得，由此可求出m的范圍；
點評：本題考查抽象函數的奇偶性、單調性及函數恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力，對函數恒成立問題常轉化為函數最值問題解決，體現了轉化思想．