Question

已知f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9，是否存在自然數m，使得對任意n∈N₊，都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當n＝1時，f(1)＝36，能被36整除； 　　(2)假設當n＝k時，f(k)能被36整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k+1＋9 　　＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 　　由歸納假設3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數， 　　所以18(3k－1－1)能被36整除， 　　所以f(k＋1)能被36整除． 　　由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整數是36． 　　思路分析：因為f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，…，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．