Question

如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點與圖中B₁點重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）設P為線段B₁A的中點，求CP與平面B₁OA所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出平面AB₁C的法向量，平面B₁CO的法向量為=（1，0，0），利用向量的夾角公式，可得二面角A-BC₁-O的大小；
（Ⅱ）確定，平面B₁OA的法向量為（0，1，0），即可求得CP與平面B₁OA所成的角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，OA，OC，OB₁兩兩垂直，分別以OA，OC，OB₁為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，則
A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），∴
設平面AB₁C的法向量為=（x，y，z），則由，可得，可取
∵平面B₁CO的法向量為=（1，0，0）
∴
故二面角A-BC₁-O的大小為
（Ⅱ）∵P為線段B₁A的中點，∴P（1，0，）
∴ 
∵平面B₁OA的法向量為（0，1，0）
∴CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為=．
點評：本題考查面面角，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確建立坐標系，確定平面的法向量是關鍵，屬于中檔題