Question

（2012•貴州模擬）如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點與圖中B₁點重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）設P為線段B₁A的中點，求CP與平面B₁OA所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出平面AB₁C的法向量

n

=(1，2，2)，平面B₁CO的法向量為

m

=（1，0，0），利用向量的夾角公式，可得二面角A-BC₁-O的大小；
（Ⅱ）確定

PC

=(-1，1，-

1

2

)，平面B₁OA的法向量為（0，1，0），即可求得CP與平面B₁OA所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，OA，OC，OB₁兩兩垂直，分別以OA，OC，OB₁為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，則
A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），∴

AB1

=(-2，0，1)，

AC

=(-2，1，0)
設平面AB₁C的法向量為

n

=（x，y，z），則由

n • AB1 =0 n • AC =0

，可得

-2x+z=0 -2x+y=0

，可取

n

=(1，2，2)
∵平面B₁CO的法向量為

m

=（1，0，0）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

1

1×3

=

1

3

故二面角A-BC₁-O的大小為arccos

1

3

（Ⅱ）∵P為線段B₁A的中點，∴P（1，0，

1

2

）
∴

PC

=(-1，1，-

1

2

) 
∵平面B₁OA的法向量為（0，1，0）
∴CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為

(0，1，0)•(-1，1，- 1 2 )

1× 1+1+ 1 4

=

2

3

．

點評：本題考查面面角，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確建立坐標系，確定平面的法向量是關(guān)鍵，屬于中檔題