Question

在數列{a_n}中，前n項和為S_n，且Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

an

2n

，數列{b_n}前n項和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（Ⅱ）利用錯位相減法可求得T_n，根據數列的單調性可求其范圍；

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，經驗證，a₁=1滿足上式．
故數列{a_n}的通項公式a_n=n．
（Ⅱ）可知Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
兩式相減，得Tn-

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

．
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+1

＞0，則T_n單調遞增，故Tn≥T1=

1

2

，
又Tn=2-

n+2

2n

＜2，
故T_n的取值范圍是[

1

2

，2)．

點評：本題考查數列求和及通項公式的求解，屬中檔題，由S_n求a_n時注意檢驗n=1時的情形．