Question

已知其中.(1)求函數的單調區間；(2)若函數在區間內恰有兩個零點，求的取值范圍；

(3)當時，設函數在區間上的最大值為最小值為，記，求函數在區間上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1)增區間：和；減區間：；(2) ；(3).

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，

∴當x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當-1＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以f（x）的單調增區間為：（-∞，-1），（a，+∞）；單調減區間為：（-1，a）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，從而函數f（x）在（-2，0）內恰有兩個零點當且僅當，解得。

所以a的取值范圍是。

（Ⅲ）a=1時，，由（Ⅰ）知f（x）在[-3，-1]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增．

（1）當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調遞增，在[-1，t+3]上單調遞減，因此，f（x）在[t，t+3]上的最大值M（t）=f（-1）="-" ，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者．由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）．而f（t）在[-3，-2]上單調遞增，因此f（t）≤f（-2）="-" ，g（t）在[-3，-2]上的最小值為g（-2）="-" -（-）= 。

（2）當t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，且-1，1∈[t，t+3]．下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調遞增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）．又由f（1）=f（-2）=-，f（-1）=f（2）=-，從而M（t）=f（-1）=-，m（t）=f（1）=-，所以g（t）=M（t）-m（t）=。

綜上，函數g（t）在區間[-3，-1]上的最小值為。

考點：利用導數研究函數的單調性；函數的零點；利用導數研究函數的最值。

點評：本題考查了應用導數研究函數的單調性、零點以及函數在閉區間上的最值問題，同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數學思想．