Question

（2011•西城區二模）數列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．
①當λ=0時，a₂₀=

1

20

；
②若存在正整數m，當n＞m時總有a_n＜0，則λ的取值范圍是

（2k-1，2k），k∈N^*

．

Answer 1

分析：①當λ=0時，a_n+1=

n

n+1

a_n，利用累積法求通項公式后，再求a₂₀即可．
②記b_n=

n-λ

n+1

（n=1，2，…），則λ滿足

b2k=  2k-λ 2k+1 ＞0 b2k-1= 2k-1-λ 2k ＜0

．由此可求出故λ的取值范圍．

解答：解：①當λ=0時，
a_n+1=

n

n+1

a_n，

an+1

an

=

n

n+1

∴

a2

a1

=

1

2

a3

a2

=

2

3

…

an

an-1

=

n-1

n

以上各式相乘得出

an

a1

=

1

n

又a₁=1，
∴a_n=

1

n

．
a₂₀=

1

20

②記b_n=

n-λ

n+1

（n=1，2，），根據題意可知，且λ≠n（n∈N^*），這時總存在n₀∈N^*，滿足：當n≥n₀時，b_n＞0；
當n≤n₀-1時，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數，
則an0＜0，從而當n＞n₀時，a_n＜0；若n₀為奇數，則an0＞0，
從而當n＞n₀時a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當n＞m時總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n₀為偶數，
記n₀=2k（k=1，2，），則λ滿足

b2k=  2k-λ 2k+1 ＞0 b2k-1= 2k-1-λ 2k ＜0

．
故λ的取值范圍是λ∈（2k-1，2k），
故答案為：

1

20

，（2k-1，2k），（k=1，2，），

點評：本題考查數列知識的綜合運用，考查累積法求通項公式，數列的函數性質，需具有計算、推理論證、分類討論的能力．