Question

(14分)已知關于x的二次函數f(x)=ax²-8bx+1.

（1）設集合M={1,2,3}和N={-1,1,2,3,4,5}，從集合M中隨機取一個數作為a，從N中隨機取一個數作為b，求函數y=f(x)在區間[2,+∞)上是增函數的概率；

（2）設點(a,b)是區域內的隨機點,求函數y=f(x)在區間[2,+∞)上是增函數的概率.

Answer 1

解（1）∵函數f(x)=ax²-8bx+1的圖象的對稱軸為x= ,

要使f(x)=ax²-8bx+1在區間[2,+∞)上為增函數，

當且僅當a＞0且≤2,即2b≤a……………………………………………2分

若a=1則b=－1，   若a=2則b=－1，1

若a=3則b=－1，1，；………………………………………………………5分

記事件A為“函數y=f(x)在區間[2,+∞)上是增函數”

則事件A包含基本事件的個數是1+2+2=5

∴所求事件A的概率為P(A)= …………………………………………………7分

（2）由（1）知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數f(x)=ax²-8bx+1在區間[2,+∞)上為增函數，

依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為,

而構成所求事件的區域為三角形AOB部分,如圖所示.………9分

由解得交點為B(4,2).……………………11分

∴所求事件的概率為P== = ……………………………………………14分