Question

橢圓

x2

8

+

y2

2

=1和雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1的公共焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得PF₁+PF₂=2a=4

2

，PF₁-PF₂=2a′=4，解得PF₁和PF₂ 的值，三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，解方程求得cos∠F₁PF₂的值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：由橢圓

x2

8

+

y2

2

=1 可得，a=2

2

，c=

6

，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得
PF₁+PF₂=2a=4

2

，PF₁-PF₂=2a′=4，解得 PF₁=2

2

+2，PF₂=2

2

- 2．
三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂=0，
則∠F₁PF₂=90°，
故答案為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，橢圓、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及余弦定理的應(yīng)用，求出 PF₁和PF₂的值，是解題的關(guān)鍵．