Question

設函數，其中。

（Ⅰ）若，求a的值；

（Ⅱ）當時，討論函數在其定義域上的單調性；

（Ⅲ）證明：對任意的正整數，不等式都成立。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解： 函數的定義域是                        1分

對求導，得                 3分

由得

解得                                                      4分

（Ⅱ）解由（Ⅰ）知

令，得，則。

所以當時，

方程存在兩根

x變化時，與的變化情況如下表：

				0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

 即函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；                  7分

當時，因為

所以（當且僅當時，等號成立），

所以函數在上單調遞增；         8分

當時，因為

所以函數在上單調遞增。

綜上，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增。                                        9分

（Ⅲ）證明：當時，

令

則在上恒成立，

所以在上單調遞增，                                           10分

則當時，恒有

即當時，有

整理，得                                      11分

對任意正整數n，取得，

所以，整理得           12分

則有

……

所以

，

即                                           14分

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的單調性和極值以及不等式的恒成立問題的綜合運用。

（1）因為先求解導數，然后令x=1得到，求解得到a的值；

（2）當a<0時，分類討論函數f(x)在其定義域上的單調性；

（3）要證明：對任意的正整數n，不等式都成立,要用到當a=1時函數的單調性中的結論來分析求證。