Question

 (本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐中， ∥,，側面為等邊三角形. .

(I) 證明：

(II)    求AB與平面SBC所成角的大小。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【思路點撥】第（I）問的證明的突破口是利用等邊三角形SAB這個條件，找出AB的中點E，連結SE，DE，就做出了解決這個問題的關鍵輔助線。

(II)本題直接找線面角不易找出，要找到與AB平行的其它線進行轉移求解。

【精講精析】證明：（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2。

連結SE，則

又SD=1，故

所以為直角。

由，得

,所以.

SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以

（II）由知，

作，垂足為F，則,

作，垂足為G，則FG=DC=1。

連結SG，則

又，,故，

作，H為垂足，則.

即F到平面SBC的距離為。

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離d也為。

設AB與平面SBC所成的角為，則,.

解法二：

以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系C-xyz,設D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）。

又設S（x,y,z），則x>0,y>0,z>0.

(I)

由得

故x=1.

由得，

又由得，

即，故。

于是，

故，又

所以.

（II）設平面SBC的法向量，

則

又

故

取得，又

.

故AB與平面SBC所成的角為.