Question

【題目】已知函數（為常數，…是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求函數的單調區間；

（3）設，其中為的導函數．證明：對任意，．

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調遞增區間為，單調遞減區間為（3）見解析

【解析】

（1）先求導得，由曲線在點處的切線與軸平行可得，求得；

（2）由（1）得，當時，；當時，，由此判斷函數的增減性；

（3），可結合（2）中求導，得，又，所以滿足，進而得證

解：（1）由，得，，

由于曲線在點處的切線與軸平行．所以，因此．

（2）由（1）得，，令，，

當時，；當時，．

又，所以時，；時，．

因此的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（3）因為，所以，，

由（2）得，，求導得．

所以當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減．

故

所以當時，．又當時，，

所以當時，，即．綜上所述結論成立