Question

（2012•陜西）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）若存在實數x使|x-a|+|x-1|≤3成立，則實數a的取值范圍是

-2≤a≤4

．
B．（幾何證明選做題）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB=6，AE=1，則DF•DB=

5

．
C．（坐標系與參數方程）直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為

3

．

Answer 1

分析：A；利用表示數軸上的x到a的距離加上它到1的距離，它的最大值等于3，作圖可得實數a的取值范圍．
B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=

5

；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE²=DF•DB=5，即得答案；
C；將直線與圓的極坐標方程化為普通方程分別為：x=

1

2

，（x-1）²+y²=1，從而可得相交弦長．

解答：解：A．∵存在實數x使|x-a|+|x-1|≤3成立，
而|x-a|+|x-1|表示數軸上的x到a的距離加上它到1的距離，
又最大值等于3，由圖可得：當表示a的點位于AB之間時滿足|x-a|+|x-1|≤3，

∴-2≤a≤4，
故答案為：-2≤a≤4．
B；∵AB=6，AE=1，由題意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，
∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=

5

．
在Rt△EDB中，由射影定理得：DE²=DF•DB=5．
故答案為：5．
C；∵2ρcosθ=1，
∴2x=1，即x=

1

2

；
又圓ρ=2cosθ的普通方程由ρ²=2ρcosθ得：x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
∴圓心（1，0）到直線x=

1

2

的距離為

1

2

，
∴相交弦長的一半為

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴相交弦長為

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題A考查絕對值不等式的解法，絕對值的意義，求出|x-a|+|x-1|的最大值是3是解題的關鍵，考查作圖與理解能力，屬于中檔題．
本題B考查與圓有關的比例線段，掌握相交弦定理與射影定理是解決問題的關鍵，而C著重簡單曲線的極坐標方程，化普通方程是關鍵，屬于中檔題．