Question

已知△ABC的兩邊長分別為AB=25，AC=39，且O為△ABC外接圓的圓心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圓O的半徑為

65

2

，且角B為鈍角，求BC邊的長；
（2）求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出關系式，將AB，AC及R的值代入求出sinB與sinC的值，由B為鈍角，得到cosB小于00，cosC大于0，利用同角三角函數間的基本關系分別求出cosB與cosC的值，再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡sin（B+C），將各自的值代入求出sin（B+C）的值，即為sinA的值，由R與sinA的值，利用正弦定理求出BC的長；
（2）由已知得：

AO

+

OC

=

AC

，兩邊平方利用完全平方公式及平面向量的數量積運算法則化簡，得到一個關系式，同理根據

AO

+

OB

=

AB

，兩邊平方化簡得到另一個關系式，兩關系式相減，整理后即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）由正弦定理有

AB

sinC

=

AC

sinB

=2R（R為外接圓半徑），
∴

25

sinC

=

39

sinB

=65，
∴sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，又B為鈍角，
∴cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

3

5

×

12

13

+

5

13

×（-

4

5

）=

16

65

，
又

BC

sinA

=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16；  
（2）由已知得：

AO

+

OC

=

AC

，∴（

AO

+

OC

）²=

AC

²，
即|

AO

|²+2

AO

•

OC

+|

OC

|²=|

AC

|²=39²，
同理

AO

+

OB

=

AB

，∴|

AO

|²+2

AO

•

OB

+|

OB

|²=|

AB

|²=25²，
兩式相減得：2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=（39+25）（39-25）=896，
即2

AO

•

BC

=896，
則

AO

•

BC

=448．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算法則，完全平方公式及平方差公式的運用，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．