Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1．a(chǎn)∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切點(diǎn)的坐標(biāo)與切線的斜率，即可求得切線方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，并因式分解，得到方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分類討論，利用函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，建立不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x2+1，
∴f（3）=1，
∵f'（x）=x²-2x-----------------------------（2分）
∴曲線在點(diǎn)（3，1）處的切線的斜率k=f'（3）=3
∴所求的切線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8----------------（4分）
（2）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x₁=3a，x₂=a+2-----------------------------------------------（6分）
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，3a=a+2，解得a=1，這時(shí)x₁=x₂=3，函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，故a=1為所求；（7分）
②當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，即3a＞a+2⇒a＞1，這時(shí)x₁＞x₂＞3，
又函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，-----------------------（10分）
③當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，即a＜1，這時(shí)x₁＜x₂＜3
又函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0------------------------（13分）
綜上得當(dāng)函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．----------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．