Question

我區某工藝廠為迎接建國60周年，設計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，其中工藝品的銷售單價x（元∕件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示關系．
（1）請根據圖象直接寫出當銷售單價定為30元和40元時相應的日銷售量；
（2）①試求出y與x之間的函數關系式；
②若物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少（利潤=銷售總價-成本總價）．

Answer 1

解：（1）由題意得：500件和400件；

（2）①設這個函數關系為y=kx+b
∵這個一次函數的圖象經過（30，500）（40，400）這兩點
∴．
解得．
∴函數關系式是：y=-10x+800
②設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10（x-50）²+9000
∵-10＜0，
∴函數圖象為開口向下的拋物線（函數草圖略）
其對稱軸為x=50，又∵20＜x≤45
在對稱軸的左側，W的值隨著x值的增大而增大
∴當x=45時，W取得最大值，W_最大=-10（45-50）²+9000=8750
答：銷售單價定為45元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤為8750元．
分析：（1）根據圖象易知當銷售單價定為30元，銷售量為500件，當銷售單價定為40元，銷售量為400件；
（2）因直線過（30，500）和（40，400），易求解析式；利潤=銷售總價-成本總價=每件利潤×銷售量．根據函數性質及圖象結合自變量的取值范圍解答．
點評：此題求最大值需考慮自變量的取值范圍．實際問題中的最值不一定是函數的最值．