Question

【題目】如圖1，點D、E、F、G分別為線段AB、OB、OC、AC的中點．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）如圖2，若點M為EF的中點，BE：CF：DG＝2：3：，求證：∠MOF＝∠EFO．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據中位線定理得：DG∥BC，，則DG=BC，DE∥BC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）先根據已知的比的關系設未知數：設BE=2x，CF=3x，，根據勾股定理的逆定理得：∠EOF=90°，最后利用直角三角形斜邊中線的性質可得OM=FM，由等邊對等角可得結論．

解：（1）∵D是AB的中點，G是AC的中點，

∴DG是△ABC的中位線，

∴DG∥BC，DG＝BC，

同理得：EF是△OBC的中位線，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，

∴設BE＝2x，CF＝3x，DG＝，

∴OE＝2x，OF＝3x，

∵四邊形DEFG是平行四邊形，

∴DG＝EF＝，

∴OE2+OF2＝EF2，

∴∠EOF＝90°，

∵點M為EF的中點，

∴OM＝MF，

∴∠MOF＝∠EFO．