Question

如圖，割線ABC與⊙O相交于B、C兩點，D為⊙O上一點，E為弧BC的中點，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，AB=2，AD=4，EG=2．
求證：∠A=60°．

Answer 1

證明：∵E為BC的中點，
∴OE⊥BC于F．
∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°．
連接OD，則OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．
∵∠AGD=∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE=90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切線．
∵AD=4，AB=2，AD²=AB•AC；
∴AC=8．
∵AD=AG，
∴BG=2，CG=4．
∵EG=2，EG•GD=BG•CG，
∴DG=4，
∴AD=DG=AG，△ADG為等邊三角形．
∴∠A=60°．
分析：先證AD是⊙O的切線，連接OD，通過證∠ADO=90°即可；然后通過切割線定理證明AD=DG=GA，繼而得出∠A=60°．
點評：本題考查了切線的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．