Question

如圖，割線ABC與⊙O相交于B、C兩點，D為⊙O上一點，E為弧BC的中點，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證AD是⊙O的切線，只要連接OD，再證∠ADO=90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，證明AD=DG=GA，得出∠EOH=60°，運用三角函數(shù)求出⊙O的半徑．

解答：（1）證明：連接OD．
∵E為BC的中點，
∴OE⊥BC于F．
∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°．（2分）
則OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．（3分）
∵∠AGD=∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE=90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵AD=4，AB=2，AD²=AB•AC；
∴AC=8．（6分）
∵AD=AG，
∴BG=2，CG=4．
∵EG=2，EG•GD=BG•CG，
∴DG=4，（7分）
∴AD=DG=AG．
∴∠ADG=60°．
作OH⊥ED于H，則∠EOH=60°，
在Rt△OEH中，EH=

1

2

（EG+GD）=3．
∴OE=

EH

sin60°

=2

3

．
即⊙O的半徑為2

3

．（8分）

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．