Question

數列{a_n}的前n項的和為S_n，對于任意的自然數a_n＞0，4Sn=(an+1)2
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列，并求通項公式
（Ⅱ）設bn=

an

3n

，求和T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，∴a₁=1．
當n≥2時，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，
又{a_n}各項均為正數，∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=

an

3n

=

2n-1

3n

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

31

+

3

32

+…+

2n-1

3n

---①
∴

1

3

T_n=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

---②
①-②

2

3

T_n=

1

31

+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

∴T_n=1-

2

3

-

n+1

3n

．