Question

某地正處于地震帶上，預計20年后該地將發生地震．當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除．已知舊城區的住房總面積為64am²，每年拆除的數量相同；新城區計劃用十年建成，第一年建設住房面積2am²，開始幾年每年以100%的增長率建設新住房，然后從第五年開始，每年都比上一年減少2am²．
（1）若10年后該地新、舊城區的住房總面積正好比目前翻一番，則每年舊城區拆除的住房面積是多少m²？
（2）設第n（1≤n≤10且n∈N）年新城區的住房總面積為S_nm²，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）10年后新城區的住房總面積為2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．設每年舊城區拆除的數量是x，則84a+（64a-10x）=2×64a，由此能求出每年舊城區拆除的住房面積．
（2）設第n年新城區的住房建設面積為a_n，則所以當1≤n≤4時，S_n=2（2ⁿ-1）a；
當5≤n≤10時，S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a==（23n-n²-46）a．由此能求出S_n．
解答：解：（1）10年后新城區的住房總面積為2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．
設每年舊城區拆除的數量是x，
則84a+（64a-10x）=2×64a，
解得x=2a，
即每年舊城區拆除的住房面積是2am²．
（2）設第n年新城區的住房建設面積為a_n，
則
所以當1≤n≤4時，
S_n=2（2ⁿ-1）a；
當5≤n≤10時，
S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a
=
=（23n-n²-46）a．
故
點評：本題考查數列的實際應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．