Question

某地正處于地震帶上，預計20年后該地將發生地震．當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除．已知舊城區的住房總面積為64am²，每年拆除的數量相同；新城區計劃第一年建設住房面積am²，開始幾年每年以100%的增長率建設新住房，從第五年開始，每年新建的住房面積都比上一年新建的住房面積增加am²．設第n（n≥1，且n∈N）年新城區的住房總面積為a_nm²，該地的住房總面積為b_nm²．
（1）求a_n；
（2）若每年拆除4am²，比較a_n+1與b_n的大小．

Answer 1

分析：（1）設第n年新城區的住房建設面積為c_nm²，則由題意，可得當1≤n≤4時，cn=2n-1a；當n≥5時，c_n=（n+4）a，由此可得結論；
（2）確定數列的通項，分類作差比較，即可得到結論．

解答：解：（1）設第n年新城區的住房建設面積為c_nm²，則
當1≤n≤4時，cn=2n-1a；當n≥5時，c_n=（n+4）a．
所以，當1≤n≤4時，an=(2n-1)a；
當n≥5時，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+（n+4）a=

n2+9n-22

2

a．
故an=

(2n-1)a(1≤n≤4) n2+9n-22 2 a(n≥5).

．（6分）
（2）1≤n≤3時，an+1=(2n+1-1)a，bn=(2n-1)a+64a-4na，顯然有a_n+1＜b_n．
n=4時，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此時a_n+1＜b_n．
5≤n≤16時，an+1=

n2+11n-12

2

a，bn=

n2+9n-22

2

a+64a-4na，
所以a_n+1-b_n=（5n-59）a．
所以，5≤n≤11時，a_n+1＜b_n；12≤n≤16時，a_n+1＞b_n．
n≥17時，顯然a_n+1＞b_n．
故當1≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當 n≥12時，a_n+1＞b_n．（13分）

點評：本題考查數列的應用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確理解題意是關鍵．