Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為AC中點，點E在BA的延長線上，且EA=AB，ED的延長線交BC于F，連AF．
（1）請寫出一對相似三角形并證明；
（2）當AF=4時，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）△ABF∽△DCF，過點A作AG∥BC交EF于G，則根據平行線的性質可以得到

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，然后利用已知條件

DC

AB

=

CF

BF

，接著利用由AB=AC得到∠B=∠C，利用這些條件即可確定△ABF∽△DCF；
（2）利用（1）中結論和相似三角形的性質可以得到

CF

BF

=

1

2

（3），接著得到

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），這樣可以求出DF=2，又由AG∥BC，點D為AC中點可以得到

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，從而求出DG=2，GF=4，再由AG∥BC，EA=AB得到

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，由此即可求解．

解答：（1）△ABF∽△DCF（1分）
證明：過點A作AG∥BC交EF于G，
則

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，（2分）
∵EA=AB，點D為AC中點，
∴

AG

BF

=

1

2

，

AG

CF

=

1

1

，
∴

CF

BF

=

1

2

（1分）
又∵AB=AC，AD=DC，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

AB，即

DC

AB

=

1

2

（1分），
∴

DC

AB

=

CF

BF

，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABF∽△DCF；

（2）解：∵△ABF∽△DCF，

CF

BF

=

1

2

（3），
∴

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），
∴DF=2，
又∵AG∥BC，點D為AC中點，
∴

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，
∴DG=2，
∴GF=4，
∵AG∥BC，EA=AB，
∴

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，
∴EF=8．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，證明相似三角形主要利用了平行線分線段成比例的定理，求線段的長度分別利用了相似三角形的性質和平行線分線段成比例定理，題目比較麻煩，解題要有耐心．