Question

【題目】如圖甲所示，在坐標(biāo)面的原點(diǎn)O處有一帶電粒子發(fā)射源，發(fā)射出的粒子相同，質(zhì)量為m，電量，粒子出射的速率同為v，出射方向與x軸的夾角在范圍內(nèi)。略去粒子間的相互作用，試設(shè)計(jì)一個(gè)磁場(chǎng)，使得這些粒子通過(guò)磁場(chǎng)力的作用，成為寬度為D且沿x軸方向行進(jìn)的平行粒子束。

Answer 1

【答案】邊界線(xiàn)的顯式方程：。要求,。

【解析】

可供設(shè)計(jì)選擇的磁場(chǎng)并不唯一，為盡可能簡(jiǎn)單，取勻強(qiáng)磁場(chǎng)。

為使帶正電粒子最終朝x軸方向運(yùn)動(dòng)，B的方向應(yīng)垂直于xOy平面朝外，帶電粒子從O點(diǎn)射出后，在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為

。

若平面上處處都有磁場(chǎng)，粒子將在各自圓軌道上持續(xù)運(yùn)動(dòng)，不可能沿x軸射出。參考圖乙，為使粒子能從圓運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)檠?/span>x軸的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)讓粒子在圓P點(diǎn)沿圓的切線(xiàn)方向射出。這意味著P點(diǎn)的左側(cè)有磁場(chǎng)，P點(diǎn)的右側(cè)沒(méi)有磁場(chǎng)，或者說(shuō)P點(diǎn)即為所設(shè)計(jì)磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)。P點(diǎn)坐標(biāo)x，y由角確定如下：

，。

不同的角對(duì)應(yīng)不同的，這些P點(diǎn)構(gòu)成磁場(chǎng)邊界線(xiàn)，上述兩式即是磁場(chǎng)邊界線(xiàn)的參量方程。消去參量，即可得邊界線(xiàn)的顯式方程：

。

這是一個(gè)圓心在y軸、半徑也為R的圓，已在圖乙中示出，為使粒子束出射寬度為D，要求。

與前面給出的R和B的關(guān)系式聯(lián)立，即得。

需要指出，上面所得的邊界方程其實(shí)給出的是由出射點(diǎn)組成的磁場(chǎng)右半圓邊界線(xiàn)，這部分曲線(xiàn)必須嚴(yán)格界定，磁場(chǎng)既不能向外擴(kuò)展，也不可向內(nèi)收縮，磁場(chǎng)的左半圓邊界并非由粒子出射點(diǎn)構(gòu)成，它是為保證從O點(diǎn)射出的發(fā)射角在范圍的粒子能做圓周運(yùn)動(dòng)而設(shè)定的，這部分曲線(xiàn)可允許向外延伸，但不可向內(nèi)收縮，或者說(shuō)磁場(chǎng)可向外擴(kuò)展，但不可向內(nèi)收縮。