Question

【題目】如圖，直線y=x+n與x軸交于點A，與y軸交于點B（點A與點B不重合），拋物線y=﹣ x2﹣2x+c經過點A、B，拋物線的頂點為C．

（1）∠BAO=°；
（2）求tan∠CAB的值；
（3）在拋物線上是否存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45
（2）

解：由（1）得：B（0，n），A（﹣n，0），

∵拋物線y=﹣ x2﹣2x+c經過點A、B

∴ ，解得 或 （舍去）

∴A（﹣6，0），B（0，6），直線AB的解析式為：y=x+6，

拋物線為：y=﹣ ﹣2x+6=﹣ （x+2）2+8，

∴拋物線的頂點為C（﹣2，8），

設拋物線的對稱軸為直線l，連結BC，

如圖1，過點B作BD⊥l，則BD=CD=2，BD∥x軸，

∴∠CBD=45°，

又BD∥x軸，

∴∠DBA=∠BAO=45°，

∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，

在Rt△CDB中，BC= =2 ，

在Rt△AOB中，AB= =6 ，

∴在Rt△ABC中，tan∠CAB= =

（3）

解：①當點P在CA左側時，如圖2，

延長BD交拋物線于點E，當∠PCA=∠BAC時，CP∥AB，

此時，點P與點E重合，點P的坐標是（﹣4，6）；

②當點P在CA右側時，如圖3，過點A作AC的垂線交CP于點F，

過點A作y軸的平行線m，過點C作CM⊥m，過點F作FN⊥m，

由于tan∠BAC= ，所以tan∠ACF=tan∠ACP= ，

∵Rt△CMA∽Rt△ANF，

∴ ， ，AN= CM= ，NF= MA= ，

∴F（﹣ ，﹣ ）；

易求得直線CF的解析式為：y=7x+22，

由 ，消去y，得x2+18x+32=0，

解得x=16或x=﹣2（舍去），

因此點P的坐標（﹣16，﹣90）；

綜上所述，P的坐標是（﹣4，6）或（﹣16，﹣90）．

【解析】解：（1）y=x+n，
當x=0時，y=n，則B（0，n），
當y=0時，x=﹣n，則A（﹣n，0），
∴OA=OB=n，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
所以答案是：45；