Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx
（1）當a=﹣1時，求函數的單調區間和極值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣1時：f（x）=x2﹣lnx，（x＞0），

∴f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）上單調遞增，

∴f（x）的極小值是f（ ）= （1+ln2）

（2）解：∵f′（x）=2x+ ，

若f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，

則：f′（1）=2+a≥0，

∴a≥﹣2

【解析】（1）先求出函數的導數，得出f′（x），從而判斷函數的單調性和極值，（2）由f′（x）=2x+ ，且f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，解不等式從而求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．