Question

       (本小題滿分14分)

己知.函數的反函數是.設數列的前n項和為，對任意的正整數都有成立，且•

(I)求數列的通項公式；      ,

(II)記，設數列的前n項和為，求證：對任意正整數n都有；

(III)設數列的前n項和為，已知正實數滿足：對任意正整數n，恒成立,求的最小值

 

Answer 1

【解】（Ⅰ）根據題意得，，于是由a_n=得a_n=5S_n+1，…………1分，　　　　當時，.

又a_n+1=5s_n+1+1

數列成等比數列，其首項，公比是　　　　　　………2分    

，    　　　　　　　　　 ………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

   = 　　　　　　　...............（文）9分、（理）4分

 　又，當成立，　………….（文）10分、（理）5分，

當n≥2時，T_n＜ ＜＜

………………………………………（文）14分、（理）7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數時，設則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5

                           >對一切大于1的奇數n恒成立

只對滿足的正奇數n成立，矛盾 .…..........9分

另一方面，當時，對一切的正整數n都有，事實上，對任意的正整數k，有

當n為偶數時，設，則

<　　　　　…………11分                

當n為奇數時，設

則…

對一切的正整數n，都有，綜上所述，正實數的最小值為4   …………..….14分