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已知對于任意兩個實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）若f（-3）=2，求f（2）．
分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，令y=-x可得f（-x）+f（x）=0，根據奇函數的定義可作出判斷；
（2）根據奇函數性質及f（-3）=2可求得f（3），再根據f（x+y）=f（x）+f（y）可求得f（1），從而可得f（2）=f（1）+f（1）；
解答：解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0；
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數；
（2）∵f（x）是奇函數，∴f（3）=-f（-3）=-2，
又∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1），
∴f(1)=-
2
3
，f(2)=f(1)+f(1)=-
4
3
．
點評：本題考查抽象函數奇偶性的判斷及抽象函數求值，屬中檔題，抽象函數的性質常用定義解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

4、已知函數y=f（x），對于任意兩個不相等的實數x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）成立，且f（0）≠0，則f（-2009）•f（-2008）…f（2008）•f（2009）的值是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lg
1+x
1-x

（Ⅰ）求證：對于f（x）的定義域內的任意兩個實數a，b，都有f（a）+f（b）=f（
a+b
1+ab
）；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江西省吉安市高三最后一次模擬考試理科數學 題型：填空題

（在給出的二個題中，任選一題作答，若兩題都做，則按所做的A題給分）

（A）在極坐標系中，直線與圓的位置關系是         。

（B）已知對于任意非零實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是         。

 

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科目：高中數學 來源：2011屆江西省吉安市中學高三最后一次模擬考試理科數學 題型：填空題

（在給出的二個題中，任選一題作答，若兩題都做，則按所做的A題給分）
（A）在極坐標系中，直線與圓的位置關系是        。
（B）已知對于任意非零實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是        。

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