Question

已知函數f（x）=lg

1+x

1-x

（Ⅰ）求證：對于f（x）的定義域內的任意兩個實數a，b，都有f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明．

Answer 1

分析：（I）將a與b代入函數f（x）=lg

1+x

1-x

，求出f（a）+f（b）的值，然后計算出f（

a+b

1+ab

）的值，從而證得結論；
（II）先求函數的定義域，然后判定f（-x）與-f（x）的關系，根據函數奇偶性的定義進行判定即可．

解答：解：（I）證明：∵f（x）=lg

1+x

1-x

∴f（a）+f（b）=lg

1+a

1-a

+lg

1+b

1-b

=lg(

1+a

1-a

×

1+b

1-b

)=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

f（

a+b

1+ab

）=lg

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

∴對于f（x）的定義域內的任意兩個實數a，b，都有f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）；
（II）函數f（x）=lg

1+x

1-x

的定義域為（-1，1）
∵f（-x）=lg

1-x

1+x

=lg(

1+x

1-x

)-1=-lg

1+x

1-x

=-f（x）
∴函數f（x）是奇函數．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及函數值的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．