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數列{an}滿足a1=
1
2
，Sn=n2an(n≥1)．
（1）求S1，S2，S3并猜想Sn；
（2）用數學歸納法證明（1）中猜想的正確性．
（1）當n≥2 時，Sn-Sn-1=an=
1
n2
Sn，故Sn=
n2
n2-1
Sn-1．
又S1=a1=
1
2
，故可得 S2=
2
3
，S3=
3
4
，猜想：Sn=
n
n+1
(n∈N*)．
（2）①當n=1時，結論顯然成立． ②假設當n=k（k∈N*）時，結論成立，即Sk=
k
k+1
．
當n=k+1時，Sk+1=
(k+1)2
(k+1)2-1
Sk=
(k+1)2
(k+1)2-1
•
k
k+1
=
k+1
k+2
=
k+1
(k+1)+1
，
故結論當n=k+1時也成立． 由①②知，結論對一切的n∈N*成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設b＞0，數列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數列{an}的通項公式；
（4）證明：對于一切正整數n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，數列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數列；    
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數部分是（　　）

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同步練習冊答案
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