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已知數列{an}中，a1=4，an+1=4-
4
an
（n∈N*）
（1）求證：數列{
1
an-2
}是等差數列；
（2）求數列的{an}通項公式an；
（3）記bn=nan(
1
2
)n+1，求數列{bn}的前n項和Sn．
分析：（1）由an+1=4-
4
an
（n∈N*）得出an+1-2=2-
4
an
，
1
an+1-2
=
an
2(an-2)
，計算
1
an+1-2
-
1
an-2
=
1
2
，所以數列{
1
an-2
}是等差數列；
（2）通過{
1
an-2
}的通項公式求數列的{an}通項公式an；
（3）bn=nan(
1
2
)n+1=（n+1）（
1
2
）n，利用錯位相消法求和．
解答：解：（1）∵an+1=4-
4
an
（n∈N*），
∴an+1-2=2-
4
an
，
1
an+1-2
=
an
2(an-2)
，
∴
1
an+1-2
-
1
an-2
=
1
2
，
1
a1-2
=
1
2
，所以數列{
1
an-2
}是以
1
2
為公差，以
1
2
為首項的等差數列；
（2）由（1）得
1
an-2
=
1
2
+
1
2
（n-1）=
n
2
，∴an=
2
n
+2，
（3）bn=nan(
1
2
)n+1=n（
2
n
+2）（
1
2
）n+1=（n+1）（
1
2
）n，
Sn=2•
1
2
+3•(
1
2
)2+…+(n+1)(
1
2
)n，
∴
1
2
Sn=2•(
1
2
)2+3•(
1
2
)3+…+(n+1)(
1
2
)n+1
兩式相減，
1
2
Sn=1+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-(n+1)(
1
2
)n+1
=1+
1
4
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
-（n+1）（
1
2
）n+1
=1+
1
2
-（
1
2
）n-（n+1）（
1
2
）n+1，
=
3
2
-（n+3）（
1
2
）n+1．
∴Sn=3-（n+3）（
1
2
）n．
點評：本題考查數列遞推公式、通項公式求解．錯位相消法．考查轉化構造，推理論證，運算求解能力．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數列{an}的通項公式為（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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同步練習冊答案
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