Question

擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，求小球的半徑．

Answer 1

【答案】分析：由已知中擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，我們可以分別設三個半徑為1的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，與桌面三個切點分別為A，B，C，構造一個正三棱柱，然后解三角形，即可得到答案．
解答：解：設三個半徑為1的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，
與桌面三個切點分別為A，B，C，如下圖所示：

則三棱柱ABC-O₁O₂O₃，是一個底面邊長為2，高為1的正三棱柱，
則小球球心O在底面ABC上的投影必為△ABC的中心H，
設小球半徑為R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=
則OH=
又∵R+OH=1
解得R=
點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征，其中標出關鍵點，構造正三棱柱是解答本題的關鍵．