Question

14．某教師用“試管爬升”實驗驗證大氣壓的存在，其做法如下：取兩個直徑相差很小的平底試管，將細試管底部插入裝滿水的粗試管內，再將兩試管迅速倒置（保持豎直），會看到細試管慢慢“爬進”粗試管里，如圖所示，細試管能否在粗試管內豎直向上“爬升”，取決于開始時插入粗試管的深度，如果插入過淺細試管就不能自動上升．若細試管的重為G，外直徑為g，水的密度為ρ₁，大氣壓強為P₁，請你通過推導計算，回答下列問題：
（1）細試管在“爬升”時，受到大氣對它豎直向上的壓力是多少？
（2）細試管開始插入的深度h₁滿足什么條件時，它剛好可以向上“爬升”．

Answer 1

分析 （1）先根據圓的面積公式求出大氣壓作用的面積，根據壓強公式求出細試管在“爬升”時受到大氣對它豎直向上的壓力；
（2）先對細試管受力分析，細管剛好能“爬升”時細試管受力平衡，根據力的平衡條件得出等式，細試管上方受到的壓強等于大氣壓減去水產生的壓強，根據壓強公式表示出受到的力，把細試管的面積公式代入等式即可得出答案．

解答 解：（1）大氣壓作用的面積：
S=πr²=π（$\frac{g}{2}$）²=$\frac{π{g}^{2}}{4}$，
根據p=$\frac{F}{S}$可得，細試管在“爬升”時受到大氣對它豎直向上的壓力：
F₁=p₁S=p₁×$\frac{π{g}^{2}}{4}$=$\frac{{p}_{1}π{g}^{2}}{4}$；
（2）細試管受力情況如圖所示：

細管剛好能“爬升”時，細試管受力平衡，則
F₁=G+F，
細試管受到水的壓強：
p_水=p₁-ρ₁gh₀，
細試管受到水的壓力：
F=p_水S=（p₁-ρ₁gh₀）S，
所以，p₁S=G+（p₁-ρ₁gh₀）S，
解得：h₀=$\frac{G}{{ρ}_{1}gS}$=$\frac{G}{{ρ}_{1}g×\frac{π{g}^{2}}{4}}$=$\frac{4G}{π{g}^{2}{ρ}_{1}g}$．
答：（1）細試管在“爬升”時，受到大氣對它豎直向上的壓力是$\frac{{p}_{1}π{g}^{2}}{4}$；
（2）細試管開始插入的深度h₀不小于$\frac{4G}{π{g}^{2}{ρ}_{1}g}$時，它剛好可以向上“爬升”．

點評 本題考查了固體壓強公式、液體壓強公式和圓的面積公式的應用，關鍵是會對剛好可以向上“爬升”的細試管進行受力分析并利用力的平衡得出等式，難點是細試管上方受到的壓力，注意此時要考慮大氣壓．