Question

15．如圖所示，卡車以速度v₀經過一段水平路面，再沿與水平地面成θ角的斜面以速度勻速v向上行駛．若卡車車重為G，功率恒為P．（水平路面和坡路路面的粗糙程度相同） 

（1）比較v₀和v的大小；
（2）請推導證明：斜面的機械效率η=$\frac{Gvsinθ}{P}$；
（3）汽車在斜面上行駛時，受到的摩擦阻力f=$\frac{P}{v}$-G×sinθ．（用字母表示結果）

Answer 1

分析 （1）卡車爬坡時，牽引力變大，而卡車的功率恒定，利用P=Fv得出卡車的速度變化；
（2）卡車在爬坡時功率P=Fv，可求此時牽引力，利用效率公式推導斜面的機械效率表達式η=$\frac{Gvsinθ}{P}$；
（3）汽車在斜面上行駛時，有用功W_有用=Gh，總功W_總=Fs，額外功W_額=W_總-W_有用，而額外功W_額=fs，可求汽車受到的摩擦阻力．

解答 解：
（1）卡車爬坡時，牽引力變大，而卡車的功率恒定，由P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv可知，卡車的速度將變小，即v₀＞v；
（2）卡車在爬坡時功率P=Fv，此時牽引力F=$\frac{P}{v}$，
如圖，在Rt△ABC中，$\frac{h}{s}$=sinθ，

斜面的機械效率：
η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{G}{F}$×$\frac{h}{s}$=$\frac{G}{\frac{P}{v}}×sinθ$=$\frac{Gvsinθ}{P}$；
（3）汽車在斜面上行駛時，有用功W_有用=G×s×sinθ，總功W_總=Fs=$\frac{P}{v}$s，額外功W_額=W_總-W_有用=$\frac{P}{v}$s-G×s×sinθ，
而額外功W_額=fs，
汽車受到的摩擦阻力：
f=$\frac{{W}_{額}}{s}$=$\frac{\frac{P}{v}s-G×s×sinθ}{s}$=$\frac{P}{v}$-G×sinθ．
故答案為：（1）v₀和v的大小：v₀＞v；
（2）推導證明同上；
（3）$\frac{P}{v}$-G×sinθ．

點評 本題考查了使用斜面時有用功、總功、額外功、機械效率的計算，注意在斜面上額外功等于克服摩擦力做的功．