Question

8．如圖甲所示，裝有水的圓柱形容器，橫截面積為S，用輕質細繩將一木塊與容器底部相連后浸沒在水中，此時繩子受到的拉力為T，松開繩子后，將一質量為m的金屬塊放在木板上，當木塊和金屬塊處于靜止時，金屬塊有$\frac{1}{3}$的體積露在外面，如圖乙所示，求：
（1）對乙圖中的金屬塊進行受力分析，畫出受力的示意圖；
（2）金屬塊的密度為多少；
（3）從甲圖到乙圖的過程中對容器底部壓強的變化量是多少．

Answer 1

分析 （1）金屬塊處于靜止受重力、支持力和浮力的作用，所受力合力為零；
（2）根據物體受力合力為零，利用阿基米德原理列出等式即可求出金屬塊的密度；
（3）從甲圖到乙圖的過程中，根據液體壓力的變化利用p=$\frac{F}{S}$即可求出容器底部壓強的變化量．

解答 解：（1）由于金屬塊處于靜止狀態，則受重力G、木塊對它的支持力F和浮力F_浮的作用；如圖：

（2）用輕質細繩將一木塊與容器底部相連后浸沒在水中時，木塊受浮力、重力和拉力的作用；
則F_浮木=G_木+T，---------①
剪斷細線后，木塊和金屬塊漂浮在水面上時，則木塊和金屬塊受浮力和重力作用，根據漂浮條件可知：
F_浮木+F_浮金屬=G_金屬+G_木，
即：F_浮木+F_浮金屬=mg+G_木，-------------------②
所以，①②兩邊的等式相減可得：
F_浮金屬=mg-T；
由于F_浮金屬=ρ_水gV_排金屬=ρ_水g（V_金屬-$\frac{1}{3}$V_金屬）=ρ_水g×$\frac{2}{3}$V_金屬=ρ_水g×$\frac{2}{3}$×$\frac{m}{{ρ}_{金屬}}$，
所以，ρ_水g×$\frac{2}{3}$×$\frac{m}{{ρ}_{金屬}}$=mg-T，
則ρ_金屬=$\frac{2mg{ρ}_{水}}{3（mg-T）}$；
（3）甲圖中液體對底部的壓力為F_甲=G_水+F_浮木，
乙圖中液體對底部的壓力為F_乙=G_水+F_浮木+F_浮金屬，
則從甲圖到乙圖的過程中，液體壓力的變化：
△F=F_乙-F_甲=G_水+F_浮木+F_浮金屬-（G_水+F_浮木）=F_浮金屬=mg-T，
所以△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{mg-T}{S}$．
答：（1）如上圖；
（2）金屬塊的密度為=$\frac{2mg{ρ}_{水}}{3（mg-T）}$；
（3）從甲圖到乙圖的過程中對容器底部壓強的變化量是$\frac{mg-T}{S}$．

點評 本題考查了阿基米德原理、物體的浮沉條件及其應用，解決本題的關鍵是當木塊和金屬塊處于靜止時的受力情況，要把握漂浮時，物體受到的浮力等于重力．