Question

有一邊長為a，密度為ρ的立方體大理石，工人用一根粗細均勻的單位長度重為P牛的鐵棒將石塊撬起一個很小的角度．如圖所示，如果插入的長度為石塊邊長的四分之一，并保持該長度不變，則當選用的鐵棒多長時，向上施加的力最小？此最小的力多大？

Answer 1

分析：由題可知，鐵棒的重力提供一部分阻力，作用點在鐵棒的重心上，阻力臂為L₂；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則一半物重提供阻力，阻力臂為

1

4

a；力F提供動力，動力臂為L．在動力和阻力的作用下，杠桿平衡．由杠桿的平衡條件求出關于F的表達式，則由數學知識要求得F的最小值及取最小值時L的長度．

解答：解：由題意可知，物體的重力為G=mg=ρa³g；
設鐵棒長為L，動力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點在鐵棒的重心上，阻力臂為

1

2

L；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力，阻力臂為

1

4

a；力F提供動力，動力臂為L．由杠桿的平衡條件得：F₁L₁=F₂L₂
即：

1

4

a?

1

2

ρa³g+LP?

1

2

L=FL
解得人對杠桿的力：
F=

ρa4g 8 + pL2 2

L

=

ρa4g

8L

+

p

2

L
由數學知識a²+b²≥2ab，當a=b時取最小值，可得
當=

ρa4g

8L

=

p

2

L時，即L=

a2

2

ρg p

時F有最小值．
F的最小值為：F=

a2

2

ρgP

．
答：當選用的鐵棒長度為L=

a2

2

ρg p

時，施加的力最小；這個最小的力是F=

a2

2

ρgP

．

點評：本題是關于杠桿平衡條件的應用，關鍵點是結合題意：把重物箱撬起一個接近于0°的角度，準確找出阻力臂和動力臂．由于解題時需要用到數學上的知識，屬于綜合性較強的題目．