Question

有一邊長為a，密度為ρ的立方體大理石，工人用一根粗細均勻的單位長度重為P牛的鐵棒將石塊撬起一個很小的角度．如圖所示，如果插入的長度為石塊邊長的四分之一，并保持該長度不變，則當選用的鐵棒多長時，向上施加的力最小？此最小的力多大？

Answer 1

由題意可知，物體的重力為G=mg=ρa³g；
設鐵棒長為L，動力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點在鐵棒的重心上，阻力臂為

1

2

L；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力，阻力臂為

1

4

a；力F提供動力，動力臂為L．由杠桿的平衡條件得：F₁L₁=F₂L₂
即：

1

4

a?

1

2

ρa³g+LP?

1

2

L=FL
解得人對杠桿的力：
F=

ρa4g 8 + pL2 2

L

=

ρa4g

8L

+

p

2

L
由數學知識a²+b²≥2ab，當a=b時取最小值，可得
當=

ρa4g

8L

=

p

2

L時，即L=

a2

2

ρg p

時F有最小值．
F的最小值為：F=

a2

2

ρgP

．
答：當選用的鐵棒長度為L=

a2

2

ρg p

時，施加的力最小；這個最小的力是F=

a2

2

ρgP

．