Question

19．如圖所示，電源電壓不變，閉合開關S，當滑動變阻器的滑片P處于$\frac{1}{4}$R時，電壓表的示數為4V，當滑動變阻器的滑片P繼續向右滑至中點時，電壓表示數變化了2V，則電源電壓為12V；通過移動滑動變阻器的滑片P，使R₀與R的電功率分別達到最大值P₀、P，則P₀：P=4：1．

Answer 1

分析 （1）分析電路的連接，根據兩次電路變阻器連入電路中電阻的大小，根據分壓原理確定第2次電壓表的示數，根據分壓原理和串聯電路電壓的規律確定電源電壓；
（2）根據P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$，當R₀的電壓最大時，R₀的功率最大；
根據P=I²R=（$\frac{U}{R{+R}_{0}}$）²R，結合數學知識討論R有最大功率的條件，并寫出最大功率的表達式，從而求出R₀與R的電功率分別達到最大值時P₀與P之比的值．

解答 解：（1）由電路圖可知，閉合開關S，R₀與變阻器串聯，電壓表測變阻器的電壓；
當滑動變阻器的滑片P處于$\frac{1}{4}$R時，電壓表的示數為U₁=4V（為第一個電路）；
當滑動變阻器的滑片P繼續向右滑至中點時，變阻器連入電路中的電阻為$\frac{1}{2}$R（為第二個電路），

根據分壓原理可知，變阻器接入電阻增大，此時電壓表示數應增大，所以此時電壓表示數：
U₂=U₁+△U=4V+2V=6V，
在兩個電路中，根據電阻的串聯和歐姆定律可得，電路中的電流分別為：
I₁=$\frac{U}{\frac{1}{4}R{+R}_{0}}$，I₂=$\frac{U}{\frac{1}{2}R{+R}_{0}}$
根據U=IR可得，電壓表示數的表達式分別為：
U₁=$\frac{U}{\frac{1}{4}R{+R}_{0}}$×$\frac{1}{4}$R=4V------①，
U₂=$\frac{U}{\frac{1}{2}R{+R}_{0}}$×$\frac{R}{2}$=6V------②，
②式÷①式解得：R=2R₀，即R₀=$\frac{1}{2}$R；
由此可知，在第2個電路中，因兩電阻相等，根據分壓原理可知，兩電阻的電壓相等均為6V，、
故電源電壓為：U=U_R0+U₂=6V+6V=12V；
（2）當移動滑動變阻器的滑片P至最左端時，R₀的電壓為電源電壓達到最大，R₀的功率最大，
則R₀的最大功率為：
P₀=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{0}}$=$\frac{（12V）^{2}}{{R}_{0}}$---------③
R₀與變阻器串聯，根據電阻的串聯規律和歐姆定律可得，電路中的電流：
I=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$，
則變阻器R的電功率：P=I²R=（$\frac{U}{R{+R}_{0}}$）²R=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R+{R}_{0}）^{2}}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R-{R}_{0}）^{2}+4R{R}_{0}}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R-{R}_{0}）^{2}}{R}+4{R}_{0}}$，
由上式可知，當R=R₀時，R的電功率P最大，其電功率的最大值：
P=$\frac{{U}^{2}}{4{R}_{0}}$=$\frac{（12V）^{2}}{4{R}_{0}}$-----------④，
則P₀：P=$\frac{（12V）^{2}}{{R}_{0}}$：$\frac{（12V）^{2}}{4{R}_{0}}$=4：1．
故答案為：12；4：1．

點評 本題考查串聯電路的規律和歐姆定律及電功率公式的靈活運用，關鍵是根據數學知識確定有最大功率的條件，體現了數學知識在物理中的運用，難度較大．