Question

7．質量相等的甲、乙兩個實心球，它們的密度之比為10：7．若將甲乙都放入水中，靜止時它們受到的浮力之比為7：9，則甲、乙兩球的體積之比是7：10；乙球靜止時處于漂�。ㄟx填“漂浮”、“懸浮”或“沉底”）；乙球的密度是0.9×10³kg/m³．

Answer 1

分析 （1）已知甲、乙兩個球體的質量相等，又知其密度之比，利用密度公式計算甲、乙兩個球體的體積之比；
（2）已知甲、乙兩球體積，分兩球都漂浮、兩球都下沉、甲球漂浮乙球下沉、甲下沉乙漂浮四種情況分別進行討論；
（3）在（2）的基礎上，利用重力、密度和浮力公式列出甲下沉乙漂浮時所受浮力的表達式，又知浮力之比，可求乙的密度．

解答 解：（1）由題知，m_甲：m_乙=1：1，ρ_甲：ρ_乙=10：7，
根據ρ=$\frac{m}{V}$可得V=$\frac{m}{ρ}$，
則甲、乙兩個球體的體積之比為：
$\frac{{V}_{甲}}{{V}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}}{\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{7}{10}$=7：10；
（2）設甲、乙兩球體積分別為7V、10V．
假設兩球都漂浮時，浮力等于兩球重力，兩球質量相等，所以浮力比應是1：1，所以假設不正確．
假設兩球都下沉時，V_排=V_物，
甲下沉時受到的浮力F_浮甲=ρ_水g7V，
乙下沉時受到的浮力F_浮乙=ρ_水g10V，
則甲、乙浮力之比為7：10，所以假設不正確．
假設甲漂浮乙下沉，則F_浮甲=G_甲=ρ_甲g7V、F_浮乙=ρ_水g10V，
因為甲、乙兩球受到的浮力之比為7：9，
所以，$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{甲}g7V}{{ρ}_{水}g10V}$=7：9
解得，ρ_甲=1.1×10³kg/m³大于水的密度，所以假設不正確．
故應是甲下沉，乙漂浮．
（3）甲下沉時受到的浮力F_甲浮=ρ_水g7V，
乙漂浮時受到的浮F_浮乙=G_乙=ρ_乙gV_乙=ρ_乙g10V，
因為甲、乙兩球受到的浮力之比為7：9，
所以，$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g7V}{{ρ}_{乙}g10V}$=7：9
解得ρ_乙=0.9×10³kg/m³；
故答案為：7：10；漂�。�0.9×10³．

點評 本題考查阿基米德原理、物體浮沉條件，密度的計算以及密度公式的應用，涉及到的知識點較多，綜合性較強，是一道難度較大的習題．難點在（2），關鍵是對甲乙兩球在水中的浮沉情況進行分類討論．