Question

2．如圖甲，一根輕質繩子（質量不計）系著一個正方體實心金屬塊，由液面下某處將金屬塊勻速豎直向上提升到液面上另一處的過程中，繩子拉力所做的功與提升高度的關系圖線如圖乙所示，其中OA和BC為直線段整個過程中均不計阻力．求：

（1）金屬塊的體積
（2）金屬塊的密度
（3）液體的密度．

Answer 1

分析 （1）金屬塊浸沒在液體中時受到的浮力不變，根據F_浮=G-F可知繩子的拉力不變；金屬塊完全離開水面時，繩子的拉力和金屬塊的重力相等且不變，據此可知AB段的高度差即為金屬塊的邊長，根據V=L³求出金屬塊的體積；
（2）BC段金屬塊提離液體后W-h圖象，讀出這段高度內拉力做的功，根據W=Fh求出拉力的大小即為金屬塊的重力，根據G=mg求出金屬塊的質量，根據ρ=$\frac{m}{V}$求出金屬塊的密度；
（3）OA段為金屬塊浸沒時W-h圖象，讀出這段高度內拉力做的功，根據W=Fh求出繩子的拉力，根據稱重法求出金屬塊受到的浮力，根據阿基米德原理求出液體的密度．

解答 解：
（1）金屬塊浸沒在液體中時受到的浮力不變，由F_浮=G-F可知繩子的拉力不變；
金屬塊完全離開水面后，由于是勻速提升金屬塊，則繩子的拉力和金屬塊的重力相等且不變；
由圖乙可知，OA段表示金屬塊浸沒時的W-h圖象，BC段表示金屬塊完全離開液面時的W-h圖象，AB段表示金屬塊逐漸露出液面時W-h圖象；
所以，AB段的高度差即為金屬塊的邊長，即L=h_B-h_A=1.2m-1.0m=0.2m，
則金屬塊的體積：
V=L³=（0.2m）³=8×10^-3m³；
（2）由圖乙可知，BC段拉力做的功：W_BC=320J-200J=120J，
BC段物體上升的高度：h_BC=h_C-h_B=1.7m-1.2m=0.5m，
由W=Fh可得，繩子的拉力即金屬塊的重力：
G=F=$\frac{{W}_{BC}}{{h}_{BC}}$=$\frac{120J}{0.5m}$=240N，
由G=mg可得，金屬塊的質量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{240N}{10N/kg}$=24kg，
金屬塊的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{24kg}{8×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=3×10³kg/m³；
（3）由圖乙可知，OA段拉力做的功W_OA=160J，上升的高度h_OA=1.0m，
此過程中繩子的拉力：
F′=$\frac{{W}_{OA}}{{h}_{OA}}$=$\frac{160J}{1.0m}$=160N，
金屬塊浸沒時受到液體的浮力：
F_浮=G-F′=240N-160N=80N，
因物體浸沒時排開液體的體積和自身的體積相等，
所以，由F_浮=ρ_液gV_排可得，液體的密度：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮}}{g{V}_{排}}$=$\frac{{F}_{浮}}{gV}$=$\frac{80N}{10N/kg×8×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=1×10³kg/m³．
答：（1）金屬塊的體積為8×10^-3m³；
（2）金屬塊的密度為3×10³kg/m³；
（3）液體的密度為1×10³kg/m³．

點評 本題考查了做功公式和重力公式、密度公式、稱重法求浮力、阿基米德原理的綜合應用，從圖乙中獲取有用信息是解題的關鍵．