Question

18．如圖所示，用同種鋁合金制成質量相等的金屬盒和實心球各一個，把球放在盒內密封后它們恰好能懸浮在水中，如圖甲所示；若把球用線吊在盒子下面放進水中，靜止時，金屬盒露出水面的部分為總體積的$\frac{1}{6}$，此時的拉力為20N，如圖乙所示．（g取10N/kg）求：
（1）鋁合金的密度；
（2）乙圖中剪斷線，金屬盒靜止時，露出水面的體積與總體積之比．

Answer 1

分析 （1）首先選圖甲中盒與球整體 作為研究對象，兩者之間相互作用力為內力，對于整體只受浮力和重力，甲乙兩種情況，一次懸浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即兩次排開水的體積相同，據此可得V_球；
由甲乙兩種情況，根據阿基米德原理和浮沉條件即可求出鋁合金的密度；
（2）對甲乙兩圖，分別對盒和球、金屬球進行受力分析，根據受力平衡即可求出盒的體積，根據漂浮條件和阿基米德原理即可求出若剪斷細繩盒靜止時浸入水的體積，然后求出露出水面的體積，然后可知露出水面的體積與總體積之比．

解答 解：（1）設金屬盒的體積為V_盒，金屬球的體積為V_球，二者的質量為：m（二者質量相等），
甲乙兩種情況，一次懸浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即兩次排開水的體積相同，可得：
V_盒=（1-$\frac{1}{6}$）V_盒+V_球，所以V_球=$\frac{1}{6}$V_盒；
而F_浮=G，即：ρ_水gV_排=2mg，
則ρ_水gV_盒=2ρ_鋁gV_球，
所以有：ρ_鋁=3ρ_水=3×10³kg/m³；
（2）對甲乙兩種情況，進行受力分析：
金屬盒懸浮時有：2mg=ρ_水gV_排，（V_盒=V_排），
金屬球懸在金屬盒下面時：對金屬盒進行受力分析有mg+20N=ρ_水g（1-$\frac{1}{6}$）V_盒；
對金屬球進行受力分析有：mg=20N+ρ_水gV_球
解之：V_盒=6×10^-3m³，m=3kg，V_球=1×10^-3m³；
當繩子剪斷后，金屬盒處于漂浮，G=F_浮′，即：mg=ρ_水gV_排1
所以，V_排1=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-3m³；
所以，露出液面的體積：V_露=V_盒-V_排1=6×10^-3m³-3×10^-3m³=3×10^-3m³；
則金屬盒靜止時，露出水面的體積與總體積之比：$\frac{{V}_{露}}{{V}_{總}}$=$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{6×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=$\frac{1}{2}$．
答：（1）鋁合金的密度為3×10³kg/m³；
（2）乙圖中剪斷線，金屬盒靜止時，露出水面的體積與總體積之比為1：2．

點評 此題為一道難度較大的推理計算題，解決此類問題的方法為：①選定的研究對象并進行受力分析（最好畫出受力分析圖）．②設定未知量一般為選項或題目所求物理量．③把兩個物體視作整體，即整體法 列一個方程．④再將兩個物體分別作為研究對象，即隔離法 再列兩個方程．