Question

12．如圖甲所示是某船廠設計的打撈平臺裝置示意圖．A是動滑輪，B是定滑輪，C是卷揚機，ODB為可繞O點自由轉動的吊臂，D為千斤頂對吊臂的支撐點，OD：DB=1：4，卷揚機C拉動鋼絲繩通過滑輪組AB豎直提升水中的物體，可以將實際打撈過程簡化為如圖乙所示的示意圖．在一次打撈沉船的作業中，在沉船浸沒水中勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛沉船時變化了0.9m³；在沉船全部露出水面并勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛沉船時變化了1.5m³．沉船浸沒在水中和完全露出水面后卷揚機對鋼絲繩的拉力分別為F₁、F₂，且F₁與F₂之比為5：8．鋼絲繩的重、軸的摩擦及水對沉船的阻力均忽略不計，動滑輪的重力不能忽略．（水的密度取1.0×10³kg/m³  g取10N/kg）求：
（1）沉船的重力；
（2）沉船完全露出水面勻速上升的過程中千斤頂對吊臂的支撐點D的作用力
（3）沉船完全露出水面勻速上升的過程中和沉船未露出水面勻速上升的過程中，滑輪組AB的機械效率之差．

Answer 1

分析 （1）在沉船全部露出水面勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛沉船時變化了1.5m³，根據F_浮=ρgV_排求出打撈平臺增大的浮力，即為沉船的重力；
（2）在沉船浸沒水中勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛物體時變化了0.9m³；根據F_浮=ρgV_排求出打撈平臺增大的浮力，然后求出沉船受到的浮力；根據F=$\frac{1}{3}$（G+G_動）求出動滑輪的重力，進而求出拉力F₂，再根據杠桿平衡條件可求沉船完全露出水面勻速上升的過程中千斤頂對吊臂的支撐點D的作用力．
（3）根據η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$分別計算沉船完全露出水面勻速上升的過程中和沉船未露出水面勻速上升的過程中，滑輪組AB的機械效率，然11
后相減即可．

解答 解：
（1）在沉船全部露出水面勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛沉船時變化了1.5m³，
則打撈平臺增大的浮力：
F_浮=ρgV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×1.5m³=1.5×10⁴N，
即沉船的重力為G=1.5×10⁴N；
（2）在沉船浸沒水中勻速上升的過程中，打撈平臺浸入水中的體積相對于動滑輪A未掛物體時變化了0.9m³；
則打撈平臺增大的浮力：
F_浮1=ρgV_排1=1×10³kg/m³×10N/kg×0.9m³=9×10³N；
所以沉船浸沒水中受到的浮力：
F_浮2=G-F_浮1=1.5×10⁴N-9×10³N=6×10³N；
根據受力分析可得，
沉船浸沒在水中勻速上升的過程中F₁=$\frac{1}{3}$[（G-F_浮2）+G_動]，
沉船全部露出水面勻速上升的過程中，F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_動），
因為F₁：F₂=5：8，
解得：G_動=1000N，
則F₁=$\frac{1}{3}$[（G-F_浮2）+G_動]=$\frac{1}{3}$[（1.5×10⁴N-6×10³N）+1000N]=$\frac{1}{3}$×1×10⁴N，
F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_動）=$\frac{1}{3}$（1.5×10⁴N+1000N）=$\frac{1}{3}$×1.6×10⁴N，
如圖，Rt△ODE△∽Rt△OBA，
因為OD：DB=1：4，則OD：OB=1：5，
所以，OE：OA=1：5，
根據杠桿的平衡條件可得，F_D×OE=F₂×OA，
則F_D=$\frac{{F}_{2}×OA}{OE}$=$\frac{{F}_{2}×5OE}{OE}$=5F₂=5×$\frac{1}{3}$×1.6×10⁴N≈2.67×10⁴N，
（3）由圖可知：n=3，
因為η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$，
所以，沉船未露出水面勻速上升的過程中，滑輪組AB的機械效率：
η₁=$\frac{G-{F}_{浮2}}{{3F}_{1}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N}{3×\frac{1}{3}×1×1{0}^{4}N}$=90%．
沉船全部露出水面后勻速上升過程中，滑輪組AB的機械效率：
η₂=$\frac{G}{3{F}_{2}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N}{3×\frac{1}{3}×1.6×1{0}^{4}N}$=93.75%，
則滑輪組AB的機械效率之差：η₂-η₁=93.75%-90%=3.75%．
答：（1）沉船的重力為15000N；  
（2）沉船完全露出水面勻速上升的過程中千斤頂對吊臂的支撐點D的作用力為2.67×10⁴N；
（3）滑輪組AB的機械效率之差為3.75%．

點評 此題是簡單機械、浮力、杠桿、機械效率綜合計算題，同時涉及到數學上的相似三角形、解方程組等相關知識，關鍵是各種計算公式的靈活運用，難點是分析出船在水中的浮力變化和求解動滑輪的重力，不但計算過程繁雜，而且難度很大．