Question

電視節目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小學生的喜愛，小剛想知道大家最喜歡哪位“兄弟”，于是在本校隨機抽取了一部分學生進行抽查（2014•揚州）如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連結DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π．

（1）求證：DE∥BC；

（2）若AF=CE，求線段BC的長度．

Answer 1

【考點】切線的性質；弧長的計算．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）要證明DE∥BC，可證明∠EDA=∠B，由弧DE的長度為4π，可以求得∠DOE的度數，再根據切線的性質可求得∠EDA的度數，即可證明結論．

（2）根據90°的圓周角對的弦是直徑，可以求得EF，的長度，借用勾股定理求得AE與CF的長度，即可得到答案．

【解答】解：（1）證明：連接OD、OE，

∵AD是⊙O的切線，

∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，

又∵弧DE的長度為4π，

∴，

∴n=60，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，

∴∠B=∠EDA，

∴DE∥BC．

（2）連接FD，

∵DE∥BC，

∴∠DEF=∠C=90°，

∴FD是⊙0的直徑，

由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，

∴EF=，

又∵∠EDA=30°，DE=12，

∴AE=，

又∵AF=CE，∴AE=CF，

∴CA=AE+EF+CF=20，

又∵，

∴BC=60．

【點評】本題考查了勾股定理以及圓的性質的綜合應用，解答本題的關鍵在于90°的圓周角對的弦是直徑這一性質的靈活運用．