Question

一個密度為2×10³千克/米³的圓柱體高10厘米，用一根彈簧把它吊起來，讓它的一半浸沒在水中（盛水的容器很大），此時彈簧比原長伸長了8厘米（已知彈簧的伸長量與所受的拉力成正比，即F=k△x，k對給定的彈簧來說是常數，△x是彈簧的伸長量），現再往容器中注入密度為0.8×10³千克/米³的油，并超過圓柱頂．問此時彈簧的伸長是多少？

Answer 1

分析：當圓柱體一半浸沒在水中時，圓柱體受到重力、浮力和拉力作用，并且豎直向下的重力等于豎直向上的拉力和浮力之和，列出關系式；
當再往容器中注入密度為0.8×10³千克/米³的油，并超過圓柱頂時，圓柱體仍然受到重力、浮力和拉力，并且豎直向下的重力仍然等于豎直向上的拉力和浮力之和，列出關系式；
聯立關系式解之即可．

解答：解：設圓柱體的橫截面積為S，ρ為圓柱體密度，x₁為容器中是水時彈簧伸長8，x₂為容器中是水和油時彈簧伸長量，則
ρgSh-ρ_水gS×

1

2

h=kx₁------------①
ρgSh-ρ_水gS[

1

2

h-（x₁-x₂）]-ρ_油gS[

1

2

h+（x₁-x₂）]=kx₂--------②
①除以②得：

ρh- 1 2 ρ水h

ρh-ρ水[ 1 2 h-(x1-x2]-ρ油[ 1 2 h+(x1-x2)]

=

x1

x2

（2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m）x₂=[2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m+10³kg/m³×（0.08m-x₂）-

1

2

×800kg/m³×0.1m-800kg/m³×（0.08m-x₂）]×0.08m
解之：x₂=6.07cm．
答：此時彈簧的伸長是6.07cm．

點評：本題考查了阿基米德原理、密度、重力公式的靈活運用，關鍵是會對物體進行受力分析，根據平衡狀態列出等價關系式，計算過程還要注意單位的換算．