Question

如圖所示，一個底面積為S的圓柱形容器直立漂浮于水中，這時它浸入水中部分的長度為h₀．當往圓柱形容器內注入適量的水后，它仍能直立漂浮于水中，這時它浸入水中部分的長度變為h₁．將圓柱形容器內的水換成同體積的某種液體后，它仍能直立漂浮于水中，這時它浸入水中部分的長度變為h₂．
已知水的密度為ρ_水，則（1）圓柱形容器的質量m=

 

；（2）容器內液體的密度ρ=

 

．

Answer 1

分析：當圓柱形容器漂浮于水中，知道進入深度，求出浸入水中的體積（排開水的體積），利用阿基米德原理求容器受到水的浮力，再利用漂浮條件求容器重，最后利用重力公式求容器的質量；
當往圓柱形容器內注入適量的水后，仍直立漂浮于水中，知道它浸入水中部分的長度變為h₁，求出此時受到水的浮力；將圓柱形容器內的水換成同體積的某種液體后，仍能直立漂浮于水中，知道它浸入水中部分的長度變為h₂，求出此時受到水的浮力；聯立方程組求解．

解答：解：（1）圓柱形容器排開水的體積：v_排=v_浸=sh₀，
圓柱形容器受到水的浮力：F_浮=ρ_水v_排g=ρ_水sh₀g，
∵圓柱形容器漂浮，
∴圓柱形容器重：G=F_浮=ρ_水sh₀g，
∴圓柱形容器的質量：m=

G

g

=

ρ水sh0g

g

=ρ_水sh₀；
（2）當往圓柱形容器內注入適量的水后，浸入水中部分的長度變為h₁，
受到水的浮力：F₁=ρ_水sh₁g
∵此時仍漂浮，
∴F₁=G+G_水=ρ_水sh₀g+ρ_水vg，
∴ρ_水sh₀g+ρ_水vg=ρ_水sh₁g；-----------①
當往圓柱形容器內注入同體積的某液體后，浸入水中部分的長度變為h₂，
受到水的浮力：F₂=ρ_水sh₂g
∵此時仍漂浮，
∴F₂=G+G_水=ρ_水sh₀g+ρ_液vg，
∴ρ_水sh₀g+ρ_液vg=ρ_水sh₂g；-----------②
①②聯立方程組解得：
ρ_液=

h2-h0

h1-h0

ρ_水．
故答案為：（1）ρ_水sh₀；（2）

h2-h0

h1-h0

ρ_水．

點評：本題考查了學生對密度公式、重力公式、阿基米德原理、漂浮條件的掌握和運用，根據題目條件列出方程是本題的關鍵．