Question

 已知集合D = {(x₁，x₂)|x₁>0，x₂>0，x₁ + x₂ = k，k為正常數}．

（Ⅰ）設u = x₁x₂，(x₁，x₂) ∈D，求u的取值范圍T；

（Ⅱ）求證：當k≥1時，不等式對任意(x₁，x₂) ∈D恒成立；

（Ⅲ）求使不等式對任意(x₁，x₂) ∈D恒成立的k的范圍．       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（Ⅰ）∵x₁>0，x₂>0，∴x₁x₂≤，當且僅當x₁ = x₂ =時等號成立，故u的取值范圍為．

（Ⅱ）由于，設u= x₁x₂

由（1）0＜u≤，又k≥1，k² – 1≥0，則    ……5分

設f (u) = u –+2，則f (u)在上是增函數．       

∴．

即當k≥1時，不等式成立．     ……8分

（Ⅲ）令，則，即求使f (u)>對u∈恒成立的k的范圍．

由（Ⅱ）知，要使對任意(x₁，x₂)∈D恒成立，必有0<k<1，因此1 – k² >0，∴函數f (u) = u +在上遞減，在上遞增，要使函數f (u)在上恒有f (u)>f ()，必有<，即k⁴ + 16k² – 16<0，解得0<k<2．                ……13分