Question

8．如圖所示的裝置是由懸掛機構和提升裝置兩部分組成．懸掛機構由固定桿OD 和杠桿BC 構成，O為杠BC的支點，CO：OB=4：1．配重E通過繩子豎直拉著杠桿B 端，其質量m_E=500kg．安裝在杠桿C端的提升裝置由支架、電動機Q、定滑輪K及動滑輪M構成．其中支架和電動機Q以及定滑輪K的總質量m=17kg，動滑輪M的質量為m₀．在一次打撈一批實心金屬材料過程中，金屬材料浸沒在水中，以v₁=0.2m/s 的速度勻速豎直上升，此時繩子H端的拉力為F₁=200N． （繩和杠桿的質量、捆綁金屬材料的鋼絲繩的質量和體積、滑輪與軸及杠桿支點處的摩擦、水對金屬材料的阻力均可忽略不計，g取10N/kg．） 
求：
（1）金屬材料浸沒在水中勻速上升時電動機牽引繩的功率P₁；
（2）地面對配重E的支持力N₁；
（3）設在金屬材料全部露出水面后勻速豎直上升的過程中，地面對配重E的支持力為N₂，且N₂=$\frac{{N}_{1}}{6}$，滑輪組的機械效率為η=95%．求動滑輪M的質量m₀．

Answer 1

分析 （1）已知金屬材料浸沒在水中勻速上升時的速度，金屬材料有3段繩子承擔，判斷繩子移動的速度和重物上升速度 的關系，根據P=Fv求出電動機牽引繩的功率；
（2）金屬材料浸沒在水中勻速上升時，以支架、電動機Q、定滑輪K為研究對象，分析其受到力的作用；
及對配重和杠桿的受力分析；根據力的平衡及力的作用是相互的及杠桿的平衡條件求出地面對配重E的支持力N₁；
（3）對金屬材料離開水面后勻速上升的過程中的支架、電動機Q、定滑輪K為研究對象進行受力分析，根據力的平衡條件和相互作用力、杠桿的平衡條件得出等式，再利用條件η₂=95%，且N₂=$\frac{{N}_{1}}{6}$，即可得出動滑輪M的質量．

解答 解：（1）金屬材料有3段繩子承擔，所以繩子移動的距離是物體上升高度的3倍，根據v=$\frac{s}{t}$，繩子的速度是重物上升的3倍，金屬材料浸沒在水中勻速上升時，電動機牽引繩子的功率為
P₁=F₁×3v₁=200N×3×0.2m/s=120W；
（2）金屬材料浸沒在水中勻速上升時，以支架、電動機Q、定滑輪K為研究對象，受到支架豎直向上的拉力F_C1′和豎直向下的重力G的作用及3段繩子對研究對象豎直下的拉力作用，受力分析圖如圖1所示；
，配重E受到繩子豎直向上的拉力N₁的作用和地面對其的支持力F_B1′的作用及本身受到的重力G_E的作用，分析圖如圖2所示；
杠桿上C點、B點受力分析圖如圖3所示．

圖1中研究對象處于靜止狀態，故受到平衡力的作用，
即F_C1′=3F₁+G=3F₁+mg=3×200N+17kg×10N/kg=770N；
研究對象受到的豎直向上的拉力F_C1′與其對支架的作用力是一作用力和反作用力，大小相等，大小也等于支架對杠桿C的作用力，即F_C1′=F_C1，
根據杠桿的平衡條件：F_C1•CO=F_B1•OB，
繩子對杠桿B的作用力F_B1=$\frac{CO}{OB}$×F_C1=4×770N=3080N，根據力的作用是相互的，杠桿B端對繩子的拉力大小等于F_B1，大小等于繩子對配重的拉力F_B1′，
因配重處于靜止狀態，所以N₁+F_B1′=G_E=m_Eg，
地面對配重的支持力N₁=m_Eg-F_B1′=500kg×10N/kg-3080N=1920N；
（3）金屬材料離開水面后勻速上升的過程中，以支架、電動機Q、定滑輪K為研究對象，受力分析圖如圖4所示，配重E的受力分析圖如圖5所示，杠桿上C點、B點受力分析圖如圖6所示；
由題意，地面對配重E的支持力為N₂=$\frac{{N}_{1}}{6}$=$\frac{1920N}{6}$=320N，
繩子對配重的拉力F′_B2=G_E-N₂=m_Eg-F_B1′=500kg×10N/kg-320N=4680N；

根據力的作用是相互的，配重對繩子的拉力大小也為4680N，繩子作用在杠桿B端的力F_B2=4680N，
根據杠桿的平衡的條件，F_C2•CO=F_B2•OB，F_C2=$\frac{OB}{CO}$×F_B2=$\frac{1}{4}$×4680N=1170N，
因F_C2=3F₂+G=3F₂+mg； F₂=$\frac{{F}_{C2}-G}{3}$=$\frac{1170N-170N}{3}$=$\frac{1000N}{3}$--------①
設金屬材料全部露出水面后勻速豎直上升h，則繩子運動的距離為s=3h，做的總功W_總=F3h；
因繩和杠桿的質量、捆綁金屬材料的鋼絲繩的質量和體積、滑輪與軸及杠桿支點處的摩擦、水對金屬材料的阻力均可忽略不計，
所以做的額外功即為克服動滑輪自重做的額外功，W_額外=G₀h=m₀gh，做的有用功：
W_有=W_總-W_額外=F3h-m₀gh；
因η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$×100%=$\frac{{3F}_{2}h{-m}_{0}gh}{{3F}_{2}h}$×100%=$\frac{{3F}_{2}{-m}_{0}g}{{3F}_{2}}$×100%=95%--------②，
將①式代入②式可得，動滑輪M的質量m₀=5kg．
答：（1）金屬材料浸沒在水中勻速上升時電動機牽引繩的功率P₁為120W，
（2）地面對配重E的支持力N₁為1920N；
（3）設在金屬材料全部露出水面后勻速豎直上升的過程中，地面對配重E的支持力為N₂，且N₂=$\frac{{N}_{1}}{6}$，滑輪組的機械效率為η=95%，動滑輪M的質量m₀為5kg．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、功率公式、效率公式、力的平衡、杠桿平衡條件的掌握和運用，知識點多、綜合性強，為壓軸題，要求靈活運用所學知識，畫出受力示意圖幫助解題是本題的關鍵．